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Francesco Agricola Catone.
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Le equazioni Diofantee, da Diofanto di Alessandria, il matematico greco che per primo le studiò a fondo, sono un insieme speciale di equazioni.
L'uguaglianza diofantea è un'equazione in una o più incognite con coefficienti interi da cui si ricavano soluzioni intere.
2x=8 --> x=4 è un esempio di equazione diofantea in un'incognita, la x. Un'uguaglianza di questo tipo la sappiamo risolvere tutti, ma quando le incognite diventano 2 in una sola equazione?
L'equazione:
4x+8y=24 ad esempio ha infinite soluzioni, in quanto al variare delle due incognite x e y il 24 si può ottenere in vari modi. Ma come si fa a trovare tutte queste infinite soluzioni? ora ve lo spiego.
Data un'equazione del tipo
ax+by=c
bisogna operare i seguenti passaggi:
1- prima di tutto trovare il M.C.D.=d tra a e b. L'equazione avrà soluzioni solo se c è divisibile per d.
2- riscrivere l'equazione cambiando le variabili e ponendo la combinazione lineare risolutante uguale al M.C.D.
es- ak+bj=d
3- Per il teorema di Bezout esistono sempre dei valorai di k e j per i quali l'ultima equazione scritta è verificata. Trovare due valori arbitrati di k e j.
4- moltiplicare i valori arbitrari per c/d. In questo modo si trovano degli altri valori che ci riportano all'equazione di partenza; chiamiamo questi due nuovi valori arbitrari x° e Y°; questi sicuramente sono dei valori suoluzione dell'equazione iniziale.
5- Tutte le soluzioni dell'equazione diofantea sono:
x=x°+(b/d)t
y=y°-(a/d)t
dove t è un parametro sceltro di volta in volta arbitrariamente. t è un numero intero relativo e al suo variare da infinite soluzionii.
Per trovare il M.C.D. e i valori di j e k per cui si risolve l'equazione esiste un metodo particolare basato su una serie di divisioni euclidee, ma lasciamolo perdere per ora visto che è più complicato. Piuttosto vi mostro un esempio, poi vi do dei compitini da fare per misurare la vostra bravura.
2x+6y=18
M.C.D. tra 2 e 6 è 2
18 è divisibele per 2 quindi l'equazione è risolvibile con dei numeri interi.
Ora si scrive:
2k+6j=2
dove l'ultimo 2 è il M.C.D. trovato prima
Ora si trovano dei valori di k ej arbitrari per risolvere l'ultima equazione.
Questa viene verificata ad esempio per k=-2 j=1
Questi due valori si moltiplicano per c/d e si torna alla prima equazioni di cui i numeri ora trovati sono soluzioni arbitrarie:
x°=kc/d=-2*18/2=-18
Y°=1*18/2=9
Come si può vedere basta sostituire nell'equazione iniziale per vedere che equazione è verificata.
a questo punto per ottenere tutte le soluzioni ho:
X=X°+(b/d)t=-18+3t
Y=Y°-(a/d)t=9-t
Come si può vedere, se date a t qualsiasi valore intero, l'equazione iniziale è sempre verificata.
Di seguito vi lascio qualche esercizietto per dilettarvi:
6x+5y=83
20x+50y=510
2x+5y=11
21x+14y=147
20x+40y=30
A voi!
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Marco Giuliano Leone.
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:O . -
Francesco Agricola Catone.
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Suvvia quiriti, nessuno si cimenta? Dai che un po' di algebra fa sempre bene 
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Un matto.
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A me Algebra fa SCHIFO. Ho 3 xd . -
Marco Giuliano Leone.
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Catone scienziato di Res Publica! . -
Francesco Agricola Catone.
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Luca Giulio Siculo.
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Onestamente, per come la vedo io, i campi di applicazione di questo tipo di equazioni si contano sulle dita di una mano. . -
Francesco Agricola Catone.
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Si, infatti le ho messe qui come un gioco. Francamente non conosco campi di applicazione delle equazioni diofantee; durante questo anno ho affrontato l'argomento in algebra, l'ho trovato simpatico e ho deciso di portarlo all'attenzione dei romani 
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Equazioni Diofanteeo Diofantine, come volete |